a/ Gọi 1 vtpt của d là \(\left(a;b\right)\)

\(\Rightarrow cos45^0=\frac{\left|1.a+3.b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow\left|a+3b\right|=\sqrt{5a^2+5b^2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+9b^2+6ab=5a^2+5b^2\)

\(\Leftrightarrow4a^2-6ab-4b^2=0\Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(2a+b\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2b\\b=-2a\end{matrix}\right.\) chọn \(\left[{}\begin{matrix}\left(a;b\right)=\left(2;1\right)\\\left(a;b\right)=\left(1;-2\right)\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}2\left(x+2\right)+y=0\\1\left(x+2\right)-2y=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+y+4=0\\x-2y+2=0\end{matrix}\right.\)

b/ Đường thẳng \(d_2\) nhận \(\left(6;-4\right)\) là 1 vtcp nên nhận \(\left(2;3\right)\) là 1 vtpt

Gọi 1 vtpt của d có dạng \(\left(a;b\right)\)

\(cos60^0=\frac{\left|2a+3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left|4a+6b\right|=\sqrt{13a^2+13b^2}\)

\(\Leftrightarrow16a^2+36b^2+48ab=13a^2+13b^2\)

\(\Leftrightarrow3a^2+48ab+23b^2=0\)

Chọn \(a=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=\frac{-24+13\sqrt{3}}{3}\\b=\frac{-24-13\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn:

\(1\left(x+1\right)+\frac{-24+13\sqrt{3}}{3}\left(y-2\right)=0\)

Và \(1\left(x+1\right)+\frac{-24-13\sqrt{3}}{3}\left(y-2\right)=0\)

Số xấu quá, bạn tự rút gọn

c/ Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow M\left(2;3\right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(6;2\right)=2\left(3;1\right)\)

Đường thẳng d qua P cách đều AB sẽ có 2 trường hợp xảy ra:

TH1: d qua P và M

\(\overrightarrow{MP}=\left(0;2\right)=2\left(0;1\right)\)

\(\Rightarrow\)Đường thẳng d nhận \(\left(1;0\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(1\left(x-2\right)+0\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow x-2=0\)

TH2: d qua P và song song AB

\(\Rightarrow\)d nhận \(\left(1;-3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(1\left(x-2\right)-3\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow x-3y+13=0\)

Bạn học lớp mấy rồi :'< Mình sợ giải cách lớp 10 lớp 9 không hiểu đ.c :'<

Mình mới lớp 9 thôi 😭

a.

Gọi \(M\left(x;y\right)\in d\)

\(\Rightarrow d\left(M;\Delta\right)=3\Leftrightarrow\dfrac{\left|3x-4y+6\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=3\)

\(\Leftrightarrow\left|3x-4y+6\right|=15\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-4y+21=0\\3x-4y-9=0\end{matrix}\right.\)

b.

Giả sử đường thẳng (d2) có dạng \(a\left(x+2\right)+b\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow ax+by+2a-3b=0\) (1)

\(\dfrac{\left|3.a-4b\right|}{5\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow2\left(3a-4b\right)^2=25a^2+25b^2\)

\(\Leftrightarrow7a^2+48ab-7b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}7a=b\\a=-7b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(1;7\right);\left(7;-1\right)\)

\(\Rightarrow...\) (bạn tự thế vào (1) và rút gọn)

a) \(\Delta \) song song với đường thẳng \(3x + y + 9 = 0\) nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng này làm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3;1} \right)\)

\(\Delta \) đi qua điểm \(A(2;1)\) nên ta có phương trình tổng quát

  \(3\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 7 = 0\)

\(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3;1} \right)\) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 3} \right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là:

 \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - 3t\end{array} \right.\)

b) \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(2x - y - 2 = 0\) nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng này làm vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1} \right)\)

\(\Delta \) đi qua điểm \(B( - 1;4)\) nên ta có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 4 - t\end{array} \right.\)

\(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)\)

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \)là:

  \(\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 7 = 0\)

a: Vì Δ//d nên Δ: 3x-4y+c=0

Thay x=1 và y=4 vào Δ, ta được:

c+3-16=0

=>c=13

b: Vì Δ vuông góc d nên Δ: 4x+3y+c=0

Thay x=-3 và y=-5 vào Δ, ta được:

c+4*(-3)+3(-5)=0

=>c-27=0

=>c=27

=>4x+3y+27=0